光學應用範例

應用1：偵測器系統

每一個光學系統在完成前都需要經過初步設計這一階段。雖然初步設計階段往往是令人覺得最困難的一環，但是確認系統的數個重要規格參數有助於制定初步計畫。以下問題將簡單說明偵測器或光源系統的設計流程。

目標：光源會往哪個方向移動？

雖然簡單的透鏡經常用於成像應用中，然而在大多數情況下，透鏡主要用於在系統內將一處光源投影至另一處。幾乎所有的光源、偵測器、雷射和光纖在進行此類光源操作時都需要使用透鏡。在確定設計哪種類型的系統之前，必須先對「光源會往哪個方向移動？」這一重要問題作出回答。如果該系統的設計目的是為了讓所有入射光都進入偵測器內，並盡可能減少像差，那麼簡單的單片透鏡如平凸（PCX）透鏡或雙凸（DCX）透鏡便可以應用於系統中。

PCX Lens as FOV Limit in Detector Application

圖 1：PCX透鏡在偵測器應用中作為FOV限制

圖1顯示了PCX透鏡以及多個重要規格：透鏡直徑（D₁）和焦距（f）。圖1還說明了偵測器的直徑如何限制了系統的視場（FOV），如與其相似的全視場所示：

(1.1)$$ \text{FFOV} = \frac{D_2}{f} $$

或正如公式所示：

(1.2)$$ \text{FFOV} = 2 \tan^{-1}{\left( \frac{D_2}{2f} \right)} $$

對於用於掃描系統中的偵測器，最重要的測量就是暫態視場（IFOV），即掃描過程中偵測器隨時所對的角度。

(1.3)$$ \text{IFOV} = \frac{\text{Pixel Size}}{f} $$

圖 2：暫態視場

PCX Lens as FOV Limit in Emitter Application

圖 3：PCX透鏡在光源應用中作為FOV限制

換個方向思考，圖1還可以表示使用透鏡將光源對準的發射系統（圖3）。這項設定將會是此應用範例的前提設定。

光穿透：最初存在多少光源？

掌握光源的去向是設計光源投影系統的第一步，就如瞭解有多少光線從物體或光源穿透出來一樣重要。光源的穿透性能是基於偵測器接收了多少光源，這就回答了「最初存在多少光源？」的問題。透鏡的數值孔徑（NA）和光圈數（f/#）依照f、D、折射率（n）和接收角（θ）來測量偵測器可收集到的光量。圖4說明了f/#和NA之間的關係。

圖 4：DCX透鏡展示f/#和NA

同樣地，透鏡之間的關係也可以按照公式1.5以數學的方法表示。要注意的是，直徑越大，f/#就越小，使得更多的光源能夠進入系統。為了構建高性能的系統，最好的方式就是將光源的發射光錐與透鏡的接收錐相匹配，這樣便可以避免光源在透鏡面積內過溢或未滿的問題。

(1.4)$$ f/\# = \frac{f}{D} $$

(1.5)$$ \text{NA} = \frac{1}{2 \times f/\#} $$

(1.6)\begin{align} \text{NA} & = n \, \sin{\theta} \\ & \approx n \theta \end{align}

光通量：有多少光源通過系統？

使用透鏡作為工具將光源傳輸至偵測器時，將光通量（TP），即穿透光能量的量化衡量標準列為考慮因素非常重要。換言之，在對「有多少光源通過系統？」這一問題作出回答時，其答案就已確定了所使用的透鏡以及系統的配置。由於光源和偵測器屬於光源面積而不是點光源，因此即使直徑和焦距（以f/#表示）之間的比率保持不變，透鏡的直徑仍然會對光通量產生影響。

圖5顯示了如公式1.7所表示的光通量（TP）的基本定義。如圖所示，A為物體面積（光源）、Ω為立體角以及z為物距（以及共軛在圖像空間則為A'、Ω'和z'）。

圖5：DCX透鏡說明光通量

(1.7)$$ \text{TP} = n^2 A \Omega $$

立體角定義為 Ω = A/r²，即透鏡表面的面積和半徑（r）是透鏡和物體（z）或透鏡和圖像平面（z'）之間的距離，分別用Ω或Ω'表示。

光暈可以減少到達偵測器的光量，這是由於孔徑限制而導致光源在系統內被物理攔截所導致的結果。由於光暈能夠消除可能會影響圖像品質的雜散光，因此系統能夠從有些刻意製造的光暈中獲得好處。要注意的是，以正確的方式對系統進行調整可以減少雜散光和非刻意製造的光暈。

像差：成像的品質如何？

在系統設計中，確定系統的光通量是極為重要的，但是系統內的像差也扮演著重要角色。在對「成像品質如何？」這一問題作出回答時，可以借此機會改善系統的設計，以減少像差和提高圖像質量。像差是任何光學系統中都存在的錯誤，不論系統的製造或調整為何。既然像差存在於每一個光學系統中，那麼在系統性能和成本之間取得平衡對每一位設計工程師而言都是重要的決定。設計工程師可以採用大光圈來減少數個基本像差如彗差（放大倍率或圖像尺寸與孔徑之間的變化）、球差（光線聚焦在近軸焦點前或近軸焦點後）以及像散（焦點分別在水平光線和垂直光線上）對成像的影響，如以下公式所示。

(1.8)$$ \text{Spherical} \propto \frac{1}{\left( f / \# \right)^3} $$

(1.9)$$ \text{Coma} \propto \frac{1}{\left( f/\# \right)^2} $$

(1.10)$$ \text{Astigmatism} \propto \frac{1}{\left( f / \# \right)} $$

應用範例：偵測器系統

舉例來說，有一個系統的光源是從直徑為¼"的光纖光導發射，如圖3所示。

初始參數
光導數值孔徑 = 0.55
光源（發射器）直徑 = 6.35mm
空氣折射率 = 1
計算參數
光圈數(f/#)

(1.11)\begin{align} \text{NA} & = \frac{1}{2 \times \left( f /\# \right)} \\ 0.55 & = \frac{1}{2 \times \left( f /\# \right)} \\ f /\# & = 0.9 \end{align}

光圈設定為f/1的PCX透鏡表示其f/#為1，意味著此透鏡非常適合放置於光導前以盡可能使光源對準。根據公式1.4，若f/#為1，則透鏡的直徑和焦距的數值相同。換言之，如果考慮使用直徑為12mm的透鏡，則透鏡的焦距同樣也是12mm。

全視場（FFOV）

(1.12)\begin{align} \text{FFOV} & = \frac{D_2}{f} \\ \text{FFOV} & = \frac{D_{\text{Source}}}{f_{\text{Lens}}} \\ & = \frac{6.35 \text{mm}}{12 \text{mm}} = 0.529 \text{ radians} \end{align}

(1.13)\begin{align} A_{\text{Source}} & = \pi r^2 \\ & = \pi \left( \frac{6.35 \text{mm}}{2} \right)^2 = 31.669 \text{mm}^2 \end{align}

(1.14)\begin{align} A_{\text{Lens}} & = \pi r^2 \\ & = \pi \left( \frac{12 \text{mm}}{2} \right)^2 = 113.097 \text{mm}^2 \end{align}

(1.15)\begin{align} \Omega & = \frac{A_{\text{Lens}}}{r^2} \\ & = \frac{113.097 \text{mm} ^2}{\left( 12 \text{mm} \right)^2} = 0.7854 \text{ steradians} \end{align}

由於透鏡從邊緣至邊緣的角度是以二維形式表示，所以球面度與三維空間內的二維角度對應。發射器和透鏡之間的距離較短，或透鏡的直徑較大，則獲得較高的球面度。立體角的最大數值為4π或約12.57，這相等於所有空間的立體角數值。

為了計算此系統的光通量（TP），首先需要計算出光源面積（公式1.11）、透鏡面積（公式1.12）以及立體角（公式1.13）。從擴散光源（即此例子中的光導）中對準光線的最好方法就是將透鏡放置於與焦距和光源之間距離相同的距離。

(1.16)\begin{align} \text{TP} & = n^2 A \Omega \\ & = \left( 1 \right) \left( 31.669 \text{mm}^2 \right) \left( 0.7854 \text{ steradians} \right) \\ & = 24.873 \text{mm}^2 \, \text{ steradians} \end{align}

由於系統位於自由空間內，而n大約為1，因此n²並不包括在最終的計算因素內。

應用2：選擇合適的透鏡

高品質圖像是低像差值的代名詞。因此，設計工程師通常會使用兩個或更多的透鏡元件，以獲得比單個透鏡解決方案更高的圖像品質。您為應用選擇合適透鏡時必須考慮幾個因素：光源類型、空間限制、成本等更多因素。

圖6a至6e對各種中繼透鏡系統，或1:1成像應用進行了比較。在以下各系統比較的具體實例中，可以瞭解到所選透鏡的固有幾何以及光學元件屬性如何對圖像質量產生影響。

圖6a：DCX透鏡中續系統：25mm EFL x 20mm入射瞳孔直徑（左邊是彩色，右邊是單色）

圖6b：PCX透鏡中續系統：50mm EFL x 20mm入射瞳孔直徑（左邊是彩色，右邊是單色）

圖6c：消色差透鏡中續系統：50mm EFL x 20mm入射瞳孔直徑（左邊是彩色，右邊是單色）

圖6d：非球面消色差透鏡中續系統：50mm EFL x 50mm入射瞳孔直徑（左邊是彩色，右邊是單色）

圖6e：非球面透鏡中續系統：50mm EFL x 40mm入射瞳孔直徑（左邊是彩色，右邊是單色）

應用範例：單元件透鏡系統

雙凸（DCX）透鏡因其兩側形狀對稱而被視為1:1成像應用的最佳單元件選擇。此外，透鏡兩面具備相等功耗，而不像是平凸（PCX）透鏡般一面折射的光源多於另一面。由於透鏡系統僅由一個鏡頭構成，因此孔徑光闌基本上就是可減少許多像差的透鏡。基於上述原因，相比較於單個PCX透鏡，DCX透鏡更適合用於1:1成像應用中。但是，必須切記的是，若透鏡具有低f/#，成像還是會產生明顯的球面像差和彗差。這些像差是由單透鏡的形狀因素所產生的：

(2.1)$$ S = \frac{R_2 + R_1}{R_2 - R_1} $$

當 R₁和 R₂是各透鏡表面的半徑。

對於僅需單個透鏡以及其物體或光源位於無窮遠的應用，此應用將具備更優秀的形狀因素，以減少任何對系統最不利的像差。舉例來說，為了減少球面像差，可以透過以下公式計算出最理想的形狀因素：

(2.2)$$ S = -\frac{ 2 \left( n^2 - 1 \right) }{n + 2} p $$

(2.3)$$ S = \frac{R_2 + R_1}{R_2 - R_1} $$

(2.4)$$ p = \frac{z' + z}{z' - z} $$

n為玻璃基片的折射率、p為方位因素、z為物距（測量得出負數值）以及z'為圖像距離（測量得出正數值）。

為了減少位於無窮遠的物體的彗差，可以透過以下公式計算得出形狀因素：

(2.5)$$ S = - \frac{\left( 2n^2 - n - 1 \right)}{n + 1} p $$

對於具備折射率為1.5（N-BK7為1.517）以及其物體位於無窮遠的玻璃基片，形狀因素大約為0.8便可以修正彗差和球差的問題。

應用範例：雙元件透鏡系統

為了改進系統，可以用兩個相同的PCX透鏡替換一個單DCX透鏡，每個透鏡的焦距是DCX的兩倍，中心有一個孔徑光闌。這樣做可以分離透鏡每個表面的光焦度，因為焦距與焦度成反比。由於每個透鏡的焦度較小，因此系統中產生的球差較小。透過使用兩個透鏡，每個表面的光焦度增加，總焦距相同，但球面像差更小。由於直徑也保持不變，因此f /＃在使用單個DCX或兩個PCX透鏡之間沒有變化，但即使f /＃很大，球面像差也會降低。

兩個凸面幾乎要碰到，而孔徑光闌則位於兩個凸面之間。因此，高品質圖像能夠透過將凸面朝向最長共軛距離放置來實現。

應用範例：消色差透鏡系統

另一個選擇是使用消色差透鏡。消色差透鏡是由正低折射率（冕牌）和負高折射率（燧石）這兩種光學元件膠合而成的透鏡。使用消色差透鏡可以改善成像的色差（多個波長範圍的白光源），以及減少球面像差和彗差。若兩個消色差透鏡的凸面相互朝向對方，則可大幅度減少像差，與使用單透鏡（不論是DCX透鏡或是兩個PCX透鏡）的系統相比更能實現極為卓越的成像系統。同時，由於球差在大孔徑或高f/#時被忽略，因此使用消色差透鏡將能夠顯著減少色差。市面上有許多中繼透鏡系統均採用此四片鏡片配置。

關於使用消色差透鏡比單片透鏡所獲得好處的更多資訊，請參閱為什麼使用消色差透鏡？

應用範例：非球面透鏡系統

有別於採用球面設計的PCX、DCX和消色差透鏡，非球面透鏡具有曲率，但其曲率又有別於球面鏡或柱面鏡，通常採用雙曲線或抛物線設計。非球面透鏡的主要概念是透鏡的曲率半徑會隨透鏡光軸變化，呈放射狀。因此，非球面透鏡可以輕易地修正球面像差，同時也是修正軸外像差的最佳選擇。

由於單個非球面透鏡可以取代兩個或更多的球面透鏡，因此非球面透鏡可適用於許多系統，從而減少了系統內的空間和成本。關於非球面透鏡的製造、設計和用途的更多資訊，請參閱所有關於非球面透鏡。

透鏡系統類型	球差	色差
DCX單片透鏡	高	高
兩個PCX透鏡	中	高
兩個消色差透鏡	低	可忽略
兩個非球面消色差透鏡	可忽略	可忽略

應用3：構建投影系統

設計客製的投影系統往往成本昂貴且費時。雖然如此，您還是可以透過幾個簡單的步驟來簡化整個設計流程，並使其更具成本效益。下面列出的幾個基本步驟可以應用於許多系統設計應用中。

客製設計步驟：

將系統拆分成多個部分 – 光學應用種類繁多，從簡單的放大鏡到雷射光整形器，應有盡有。此外，大部分的應用均可拆分成可獨立開發的較小模組。
對系統的每個部分分別進行設計 – 對每個模組分別進行設計可以使系統的每個部分獲得最佳性能，從而提高系統的整體性能。因此，在對不同的模組進行設計時，必須對整個系統非常瞭解，這樣個別的模組優化才不會對系統中其他模組的設計產生不良影響。
電腦優化 – 完成初始尺寸計算後，將該設計放入如ZEMAX或Code V等光學設計軟體是單獨優化模組或是整體設計的最佳方法。對每個系統模組進行優化能夠為設計工程師提供最佳的案例場景，從而使設計工程師可以對每個系統模組選擇最合適的安裝組件。設計工程師還可以透過這個步驟對整個設計進行重複檢查，確保計算得出合理的資料。
裝配系統 – 每個模組完成設計後，設計工程師將會對整個系統進行構建。將所有模組按設計要求組裝成系統之前，請對每個模組進行檢查，以確保運行正常。系統構建完成後，建議將整個系統在光學設計軟體裡模擬，以確保所有模組能夠相互陪護運行於系統。
選擇元件 – 大部分的光學設計軟體均包括標準規格透鏡資料庫和近鄰演算法，有助於客製元件選擇合適的透鏡和物品。透鏡設計軟體優化得出的玻璃編號可能並不存在，但是近鄰演算法將會計算出與現貨庫存最相近的玻璃類型。除了選擇合適的玻璃之外，為系統選擇合適的機械結構件也是重要的一個步驟。在選擇透鏡夾具和對系統進行安裝之前，您必須把結構件的尺寸、重量，形狀考慮在內。

關於選擇玻璃的更多資訊，請參閱光學玻璃。

大部分傳統投影片投影機都配有兩個主要模組：聚光鏡系統和投影鏡系統。聚光鏡系統將照明均勻地聚集在投影片上，而投影鏡系統則將投影片的圖像投影在螢幕上。每一個模組都是由簡單的元件和方法構建而成。直徑為25mm，具備大孔徑和廣泛焦距選擇的光學元件將用於此範例中。

第一部分：投影鏡系統

投影鏡系統受限於預期的放大倍率和投影片的投影距離。由於大部分投影系統均採用白光源，因此在系統中使用消色差透鏡能夠獲得最佳品質的圖像。有兩點是選擇消色差透鏡時必須考慮的，那就是投影圖像和投影透鏡系統的距離，以及預期的放大倍率。放大倍率可以透過計算透鏡的焦距得出（公式3.1）或是透過計算圖像和物體之間的距離（公式3.2）得出。

(3.1)$$ M = \frac{F_2}{F_1} $$

(3.2)$$ M = \frac{I}{O} $$

第二部分：聚光鏡系統

聚光鏡系統從擴散照明光源中收集光線，然後轉折光線並聚集光線，使光線充滿投影鏡系統。如圖7所示，傳統的聚光鏡系統是由兩個凸面面對面安裝的PCX透鏡構成。第一個透鏡收集光源（物體或投影光源）的擴散光源錐，第二個透鏡則作為會照明光網的聚光錐（圖像）將光源輸出。

圖 7：基本投影系統

投影鏡解決方案間接地確立了聚光鏡系統的設計，這就是為什麼先設計投影鏡系統是至關重要的一環。此外，聚光鏡系統和投影鏡系統之間的距離並不短於投影片和投影鏡系統之間的距離。

應用範例：設計投影系統

初始參數
透鏡直徑 = 25mm
圖像距離 = 投影距離 = 250mm
放大倍率 = 2.5X
計算參數
物體距離或投影片距離

(3.3)\begin{align} M & = \frac{F_2}{F_1} \\ 2.5 & = \frac{250 \text{mm}}{F_1} \\ F_1 & = \frac{250 \text{mm}}{2.5} = 100 \text{mm} \end{align}

兩個焦距為100mm，直徑為25mm的消色差透鏡是構建投影鏡系統的理想選擇。直徑為25mm的透鏡優勢在於具備大孔徑和與機械元件的相容性，以及廣泛的鍍膜和焦距選擇。

PCX聚光鏡的焦距

(3.4)\begin{align} M & = \frac{F_2}{F_1} \\ F_2 & = M \cdot F_1 = \left( 2.5 \text{X} \right) \left( 100 \text{mm} \right) = 250 \text{mm} \end{align}

完整的透鏡系統需要兩個焦距為250mm，直徑為25mm的PCX透鏡。

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