被動消熱差設計介紹

熱失焦｜消色差和消熱差雙膠合方程式｜選擇消色差熱差玻璃和外殼材料的圖形方法

對於易受溫度波動影響的應用，開發消熱差光學系統非常重要，即對環境的熱變化及由此產生的系統失焦不敏感的光學系統。開發消熱差設計，這取決於材料的熱膨脹係數 (CTE) 和隨溫度變化指數 $ \left( \tfrac{\text{d}n}{\text{d}T} \right) $的情況，這在紅外材料中尤其關鍵。大多數紅外材料的$ \tfrac{\text{d}n}{\text{d}T} $ 比可見光玻璃高出幾個數量級，導致折射率發生巨大變化。此外，雖然光學系統通常設計用於空氣中，但外殼材料對熱變化也很敏感，在考慮消熱差設計時應加以處理。

熱失焦

材料因溫度變化而產生的膨脹和收縮是由材料的熱膨脹係數 $ \small{\alpha} $所決定，其單位為$ \small{10^{-6}} \tfrac{\text{m}}{\text{K}} $, $ \small{10^{-6}} \tfrac{\text{m}}{˚ \text{C}} $, $ \small{\tfrac{\text{ppm}}{\text{K}}} $, 或者 $ \small{\tfrac{\text{ppm}}{˚ \text{C}}} $。溫度變化引起材料長度 $ \small{ \left( L \right)} $ 的變化由公式 1 給出。

熱失焦是指由於折射率隨溫度的變化 $ \left( \tfrac{\text{d}n}{\text{d}T} \right) $ 和材料的膨脹而改變的焦點位置隨溫度的變化。量化透鏡在空氣中的焦距隨溫度變化的類似方程式由公式2給出，其中 $ \small{\beta} $ 是熱光係數。

$ \small{\beta} $ 可以用公式 3 定義，其中 $ \small{\alpha_g} $是玻璃的CTE。$ \small{\beta} $ 的方程應包括空氣折射率隨溫度變化的項，但由於此項與IR中的材料 $ \left( \tfrac{\text{d}n}{\text{d}T} \right) $值相比很小，所以這裡忽略不計。由於空氣的作用對熱光係數的影響比對紅外的影響更大，因此在可見光範圍內不宜採用這種透鏡。

對於安裝在熱膨脹係數為 $ \small{\alpha_h} $ 的外殼中的鏡頭，焦點位置的變化是鏡頭焦距變化和外殼膨脹引起的像面位置變化的組合，如公式4 和圖1所示。如果外殼長度的變化等於鏡頭引起的焦點變化，那麼散焦就是零，系統即被認為無熱。

圖 1：溫度 $\small{ \left( \Delta T \right)} $ 變化時金屬外殼透鏡的離焦 $\small{ \left( \Delta f \right)} $ 。

消色差和消熱差雙膠合方程式

消色差雙膠合透鏡是一種常見的光學元件，利用不同材料的正負透鏡具有相等和相反的色差量來校正顏色。假設透鏡在空氣中，由公式 5 給出了最長、最短和中間波長定義的任意波段的$\small{{\nu}}$數（反向色散）。如果滿足公式 6 和 7 ，則所得結果就是消色差雙膠合。最佳解決方案是有兩個透鏡具有最大的 $\small{{\nu}}$-數差：$ \small{ \Delta \nu } $.

較大的 $ \small{ \Delta \nu } $ 會導致較長的焦距（較低的power）和較淺的半徑（減少像差並提高光學性能）。透過觀察玻璃地圖，很簡單就能直觀地選擇出有較大 $\small{\nu}$-數差的皇冠和燧石玻璃。與此類似，我們可以在消色差公式中使用熱光學係數（公式）的倒數，通常稱為熱 $\small{\nu}$ 數，來設計消熱差的雙膠合（公式8和9）。如果我們設計出消色差雙膠合和消熱差雙膠合方程式均得到滿足的雙膠合（公式6-9），所得結果就是消色差系統：既是消色差又是消熱差的系統（公式10）。

透過繪製熱 $\small{\nu}$-數 $ \small{\left( \nu_T \right)} $ vs. 顏色 $\small{\nu}$-數的關係，可以直觀地識別出兩種可用于開發消色差熱差系統的材料。給定直線的公式（$ \small{y = mx + b} $，其中$ \small{m} $是斜率，$ \small{b} $ 是 y- 截距）。我們看到，如果把 y 的截距設為0，並選擇一種材料$ \left( \nu_1， \， \nu_{T1} \right) $，則斜率為 $ \small{m} = \tfrac{\nu_{T1}}{\nu_1} $ 。從消色差熱差雙膠合公式中可以看出，為了達到顏色校正和消熱差的目的，我們希望兩種不同材料的斜率是相等的；任何兩種材料，只要能用一條通過原點的線連接，就能提供消色差熱差的解決方案。如圖 2 所示，IG5 和 AMTIR1 將在空氣中為 LWIR（8 - 12μm）提供近乎無熱的解決方案。請注意：該圖沒有考慮到系統的任何機械外殼的膨脹。

圖 2：LWIR (8-12μm)的 $ \small{\nu_T} $ vs. $ \small{\nu} $ 的樣本對比圖

選擇消色差熱差玻璃和外殼材料的圖形方法

另一種方法是繪製熱 $\small{\nu}$-數 $\left( \small{\nu_T} \right) $ vs. 顏色 $\small{\nu}$-數的對比圖，涉及繪製熱光學係數 $\left( \small{\beta} \right) $ vs. 反色 $\small{\nu}$-數。¹ 這種方法不僅有助於確定兩種可用的光學材料，而且還有助於確定外殼材料的CTE，這正是外殼的消色差熱差解決方案所需要的。如圖3所示，y-截距通過一條貫穿兩種材料並與y軸交叉的線提供了所需的外殼材質。如果沒有具有所需CTE的單一外殼材料，可以使用雙金屬外殼或其他機械安裝解決方案來實現所需的CTE。

圖 3：通用無熱玻璃圖繪製 $ \small{\beta} $ vs. $ \tfrac{1}{\nu} $

需要注意的是，這種方法仍然假定空氣的$ \tfrac{\text{d}n}{\text{d}T} $ 與光學材料的$ \tfrac{\text{d}n}{\text{d}T} $ 相比是很小的；雖然這對紅外系統來說是真的，但對於在可見光譜中工作的系統，必須考慮空氣的$ \tfrac{\text{d}n}{\text{d}T} $ 。關於這些和其他消熱差圖形方法的更多資訊，請參考所列的資料。

(1)$$\Delta L = \alpha L \Delta T $$

(1)

$$\Delta L = \alpha L \Delta T $$

(2)$$\Delta f = \beta f \Delta T $$

(2)

$$\Delta f = \beta f \Delta T $$

(3)$$\beta_r = \alpha_g - \frac{1 }{n -1} \frac{\text{d} n}{\text{d} T} $$

(3)

$$\beta_r = \alpha_g - \frac{1 }{n -1} \frac{\text{d} n}{\text{d} T} $$

(4)$$ \Delta f = f \left( \beta _{\text{Lens}} - \alpha_h \right) \Delta T $$

(4)

$$ \Delta f = f \left( \beta _{\text{Lens}} - \alpha_h \right) \Delta T $$

(5)$$ \nu = \frac{n_{\text{Mid}} -1 }{n_{\text{Short}} - n_{\text{Long}} } $$

(5)

$$ \nu = \frac{n_{\text{Mid}} -1 }{n_{\text{Short}} - n_{\text{Long}} } $$

(6)$$ \frac{\Phi_1}{\Phi}= \frac{\nu _1}{\nu_1 - \nu_2} $$

(6)

$$ \frac{\Phi_1}{\Phi}= \frac{\nu _1}{\nu_1 - \nu_2} $$

(7)$$ \frac{\Phi_2}{\Phi}= \frac{\nu _{2}}{\nu_{1} - \nu_{2}} $$

(7)

$$ \frac{\Phi_2}{\Phi}= \frac{\nu _{2}}{\nu_{1} - \nu_{2}} $$

(8)$$ \frac{\Phi_1}{\Phi}= \frac{\nu _{T1}}{\nu_{T1} - \nu_{T2}} $$

(8)

$$ \frac{\Phi_1}{\Phi}= \frac{\nu _{T1}}{\nu_{T1} - \nu_{T2}} $$

(9)$$ \frac{\Phi_2}{\Phi}= \frac{\nu _{T2}}{\nu_{T1} - \nu_{T2}} $$

(9)

$$ \frac{\Phi_2}{\Phi}= \frac{\nu _{T2}}{\nu_{T1} - \nu_{T2}} $$

(10)$$ \frac{\nu_1}{\nu_{T1}} = \frac{\nu_2}{\nu_{T2}} $$

(10)

(10)$$ \frac{\nu_1}{\nu_{T1}} = \frac{\nu_2}{\nu_{T2}} $$

請注意：對於這些公式，系統中元件的 power 是位於所使用波段的中心，所使用的指數位於參考波長。

參考文獻：

Schwertz, Katie, Dan Dillon, and Scott Sparrold. "Graphically Selecting Optical Components and Housing Material for Color Correction and Passive Athermalization." SPIE Proceedings Vol. 8486: Current Developments in Lens Design and Optical Engineering XIII, October 11, 2012.
Schwertz, Katie, Adam Bublitz, and Scott Sparrold. "Advantages of Using Engineered Chalcogenide Glass for Color Corrected, Passively Athermalized LWIR Imaging Systems." SPIE Proceedings Vol. 8353: Infrared Technology and Applications XXXVIII, May 31, 2012.

參考書目

¹ Tamagawa, Yasuhisa, Satoshi Wakabayashi, Toru Tajime, and Tsutomu Hashimoto. "Multilens System Design with an Athermal Chart." Applied Optics 34, no. 33 (December 1, 1994): 8009-013.

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